Question

（本題滿分13分）已知橢圓經過點（0，），離心率為，直線l經過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點，點A、F、B在直線x=4上的射影依次為點D、K、E.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意得b=，，，∴ a=2，c=1，

   ∴ 橢圓C的方程.…………………………………………………………3分

(Ⅱ)因直線l與y軸相交，故斜率存在，設直線l方程為：，求得l與y軸交于M(0，-k)，又F坐標為 (1，0)，設l交橢圓于，

由 消去y得，

，………5分

又由  ∴，

同理，

，

…………………7分

所以當直線l的傾斜角變化時，的值為定值.………………………………8分

（Ⅲ）當直線l斜率不存在時，直線l⊥x軸，則為矩形，由對稱性知，AE與BD相交于FK的中點，

猜想，當直線l的傾斜角變化時，AE與BD相交于定點，…………………9分

證明：由（Ⅱ）知，，

當直線l的傾斜角變化時，首先證直線AE過定點

，

當時，

.  ………………………………11分

∴點在直線上，同理可證，點也在直線上；

∴當m變化時，AE與BD相交于定點，  …………………………………13分