Question

在平面直角坐標系中，已知點，點P是動點，且三角形的三邊所在直線

的斜率滿足．

（1）求點P的軌跡的方程；

（2）設Q是軌跡上異于點的一個點，若，直線與交于點M，探究是否存點P使得和的面積滿足，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設點為所求軌跡上的任意一點，由得，，

整理得的方程為（且）。……4分（注：不寫范圍扣1分）

（2）解法一、設，

，，，即， ………6分

三點共線，與共線，∴，

由（1）知，故，         ………8分

同理，由與共線，

∴，即，

由（1）知，故，…………9分

將，代入上式得，

整理得，由得，         …………11分

由，得到，因為，所以，

由，得，  ∴的坐標為．           …………14分

解法二、設由得，

故，即，                          ………6分

∴直線OP方程為：   ①；                            …………8分

直線QA的斜率為：，            

∴直線QA方程為：，即， ②  …10分

聯立①②，得，∴點M的橫坐標為定值。…………11分

由，得到，因為，所以，

由，得，  ∴的坐標為．           …………14分

【解析】考查向量知識在幾何中的運用，實際上就是用坐標表示向量，再進行運算；（Ⅱ）的關鍵是確定出點M的橫坐標為定值．

（Ⅰ）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得從而就可以得到軌跡C的方程；

（2）設出點PQ,M的坐標，然后利用三點共線得到坐標關系，進而再由面積得到點P的坐標。