Question

如圖，橢圓E：的右焦點F₂與拋物線y²=8x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點坐標為（2，0），|CD|=8，，利用可得：2a²=3b⁴，結合a²=b²+4，即可求得橢圓M的方程；
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，利用向量的運算，表示出，從而求的最大值轉化為求的最大值，用坐標表示出，即可求得的最大值；
方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），用坐標表示出，利用配方法，即可求得結論；
方法3：分類討論：直線EF的斜率存在與不垂直，EF的方程與圓的方程聯立，用坐標表示出，利用配方法，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）由條件可知橢圓的焦點坐標為（2，0），|CD|=8，，
由可得：2a²=3b⁴，又a²=b²+4，則3b⁴-2b²-8=0，解得：b²=2，a²=4，
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則==．
從而求的最大值轉化為求的最大值．…（6分）
因為P是橢圓M上的任意一點，設P（x，y），所以，即．…（8分）
因為點N（0，2），所以．…（10分）
因為，所以當y=-1時，取得最大值12． 
所以的最大值為11．…（12分）
方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），因為E，F的中點坐標為（0，2），所以
所以=（x₁-x）（-x₁-x）+（y₁-y）（4-y₁-y）
==．…（6分）
因為點E在圓N上，所以，即．
因為點P在橢圓M上，所以，即．…（10分）
所以==．
因為，所以當y=-1時，．…（12分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設EF的方程為y=kx+2，
由，解得．…（6分）
因為P是橢圓M上的任一點，設點P（x，y），所以，即．
所以，…（8分）
所以．…（10分）
因為，所以當y=-1時，取得最大值11．
②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨設，E（0，3），F（0，1）． 因為P是橢圓M上的任一點，設點P（x，y），
所以，即．所以，．
所以．
因為，所以當y=-1時，取得最大值11．
綜上可知，的最大值為11．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與圓的位置關系，正確表示是關鍵．