Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PDE的距離．

Answer 1

分析：（I）由題意，利用三角形相似及角的互余得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理求出線面垂直，進而利用面面垂直的判定定理證出面面垂直；
（II）利用面面垂直及三垂線定理求出二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（III）利用線面垂直的性質及直角三角形求出點到面的距離．

解答：解：（Ⅰ）設AC與DE交點為G，延長DE交CB的延長線于點F，
則△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴tan∠F=

DC

CF

=

1

2

，
又∵tan∠ACD=

AD

DC

=

1

2

，∴∠F=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE
又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，
∵DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC
（Ⅱ）連接PG，過點C作CH⊥PG于H點，取PD中點I，連接CI，易知CI⊥PD
又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交線，
根據面面垂直的性質，得CH⊥平面PDE，
由三垂線定理知HI⊥PD
從而∠CIH為二面角C-PD-E的平面角
在等腰Rt△PCD中，CI=

2

2

PC=

2

；
在Rt△DCA中，CG=

CD2

AC

=

22

22+12

=

4 5

5

，
在Rt△PCG中，CH=

PC•CG

PG

=

PC•CG

PC2+CG2

=

2• 4 5 5

6 5 5

=

4

3

從而sin∠CIH=

CH

CI

=

2 2

3

，則∠CIH=arcsin

2 2

3

即二面角C-PD-E的大小為arcsin

2 2

3

（Ⅲ）由于BF=

1

4

CF，所以可知點B到平面PDE的距離等于點C到平面PDE的距離的

1

4

，即

1

4

CH．在Rt△PCG中，CH=

PC•CG

PC2+CG2

=

2× 4 5 5

22+( 4 5 5 )2

=

4

3

，
從而點B到平面PDE的距離等于

1

3

．

點評：此題重點考查了三角形相似，線線垂直，線面垂直的判定及性質，面面垂直的判定及性質，還考查了利用三垂線定理求出二面角，點到平面的距離定義及利用反三角函數表示角的大小，