Question

已知圓x²+y²-6x-8y+21=0和直線(xiàn)kx-y-4k+3=0．
（1）求證：不論k取什么值，直線(xiàn)和圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（2）求當(dāng)k取何值時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，并求這最短弦的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心與半徑r，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到已知直線(xiàn)的距離d，要證直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)得到直線(xiàn)與圓相交，即d小于r，即證

|k+1|

1+k2

＜2，配方后即可得證；
（2）圓心到直線(xiàn)的距離最大，此時(shí)直線(xiàn)被圓截得的弦最短，表示出的d變形后，利用基本不等式求出d的最大值，以及此時(shí)k的值，即可確定出最短的弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑r=2，
圓心到直線(xiàn)kx-y-4=0的距離d=

|3k-4-4k+3|

1+k2

=

|k+1|

1+k2

，
∵3k²-2k+3=3（k-

1

3

）²+

8

3

＞0，
∴（k+1）²＜4（1+k²），即

|k+1|

1+k2

＜2=r，
則直線(xiàn)與圓相交，即直線(xiàn)與圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（2）由于當(dāng)圓心到直線(xiàn)的距離最大時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，
而d=

|k+1|

1+k2

=

(k+1)2 k2+1

=

1+ 2k k2+1

≤

1+ k2+1 k2+1

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)，即k=1時(shí)，d_max=

2

，
則當(dāng)k=1時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為2

22-( 2 )2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，以及勾股定理，直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，然后由弦心距，圓的半徑及弦長(zhǎng)的一半，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．