Question

（14分）設F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.

（1）若橢圓C上的點A（1，）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

（2）設點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F₁K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

(1)=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）;(2);

(3) 若M、N是雙曲線：=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.證明見解析。

【解析】本題考查橢圓的基本知識，求動點軌跡的常用方法.

解：（1）橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F₁、F₂兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.又點A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1.

所以橢圓C的方程為=1，焦點F₁（－1，0），F₂（1，0）.

（2）設橢圓C上的動點為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.

（3）類似的性質為：若M、N是雙曲線：=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值.

設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（－m，－n），其中=1.

又設點P的坐標為（x，y），由，

得k_PM·k_PN=，將m²－b²代入得k_PM·k_PN=.

思路拓展：（1）求橢圓的方程，主要運用橢圓的幾何性質；

（2）求軌跡方程，運用的求動點軌跡的常用方法之一—相關點法.

（3）問對考生的邏輯思維能力、分析和解決問題的能力及運算能力都有較高的要求，根據提供的信息，讓考生通過類比自己找到所證問題，這是高考數學命題的方向，應引起注意。