Question

已知等比數列{a_n}前n項和為S_n，則下列一定成立的是（　　）

A．若a₃＞0，則a₂₀₁₃＜0

B．若a₄＞0，則a₂₀₁₄＜0

C．若a₃＞0，則S₂₀₁₃＞0

D．若a₄＞0，則S₂₀₁₄＞0

Answer 1

分析：對于選項A，B，D可通過q=-1的等比數列排除，對于選項C，可分公比q＞0，q＜0來證明即可得答案．

解答：解：對于選項A，可列舉公比q=-1的等比數列1，-1，1，-1，…，顯然滿足a₃＞0，但a₂₀₁₃=1＞0，故錯誤；
對于選項B，可列舉公比q=-1的等比數列-1，1，-1，1…，顯然滿足a₄＞0，但a₂₀₁₄=0，故錯誤；
對于選項D，可列舉公比q=-1的等比數列-1，1，-1，1…，顯然滿足a₂＞0，但S₂₀₁₄=0，故錯誤；
對于選項C，因為a₃=a₁•q²＞0，所以 a₁＞0．
當公比q＞0時，任意a_n＞0，故有S₂₀₁₃＞0；當公比q＜0時，q²⁰¹³＜0，故1-q＞0，1-q²⁰¹³＞0，仍然有S₂₀₁₃ =

a1(1-q2013)

1-q

＞0，故C正確，
故選C．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．