Question

函數f(x)=

1-x

ax

+lnx是[1，+∞）上的增函數．
（Ⅰ）求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M對定義域內的任意x值恒成立的所有常數M中，我們把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下確界，若函數f(x)=

1-x

ax

+lnx的定義域為[1，+∞），根據所給函數g（x）的下確界的定義，求出當a=1時函數f（x）的下確界．
（Ⅲ）設b＞0，a＞1，求證：ln

a+b

b

＞

1

a+b

.

Answer 1

分析：①當函數單調遞增時，其導數大于等于0恒成立求參數的范圍
②求下確界就是求函數的最小值利用導數求函數的最值
③證明不等式就是求最值

解答：解：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

f′(x)=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立
又

1

x

≤1∴a≥1答：
正實數a的取值范圍為a≥1
（2）由（1）可知a=1時，函數f（x）是定義域[1，+∞）上的增函數，
故f（x）_min=f（1）=0，
f（x）≥M恒成立
∴M≤f（x）_min=0
∴M的最大值為0，
∴當a=1時函數f（x）的下確界為0．
答：當a=1時函數f（x）的下確界是0
（3）取x=

a+b

b

，∵a＞1，b＞0，∴

a+b

b

＞1，
由（1）知f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函數，
∴f(

a+b

b

)＞f(1)=0
∴

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0，
即ln

a+b

b

＞

1

a+b

點評：導數的應用①知函數的單調性求參數范圍 一般轉化成道函數恒大于等于0 或小于等于0
②證明不等式轉化成函數的最值，若含著對數或指數一般用導數求最值．