Question

已知函數f（x）=log_a （a＞0，a≠1）的圖象關于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷函數f（x）在區間（1，+∞）上的單調性并加以證明；
（3）當a＞1，x∈（t，a）時，f（x）的值域是（1，+∞）求a與t的值．

Answer 1

解：（1）因為函數f（x）=log_a（a＞0，a≠1）的圖象關于原點對稱，即f（x）為奇函數，則
f（﹣x）+f（x）=0，
loga+loga=loga=0，
即=1，
解可得，m=1或m=﹣1，
當m=1時，=﹣1＜0，不合題意，舍去；
當m=﹣1時，=，符合題意，
故m=﹣1；
（2）當0＜a＜1時，log_a＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此時f（x）為增函數，
當a＞1時，log_a＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此時f（x）為減函數，證明如下
由（1）得m=﹣1，則f（x）=log_a，任取1＜x₁＜x₂，則
f（x₂）﹣f（x₁）=log_a﹣log_a=log_a，
又由1＜x₁＜x₂，則0＜＜1，
當0＜a＜1時，loga＞0，即f（x₂）﹣f（x₁）＞0，
此時f（x）為增函數，
當a＞1時，loga＜0，即f（x₂）﹣f（x₁）＜0，
此時f（x）為減函數，
（3）由（1）知，f（x）=loga，＞0，解可得，x＞1或x＜﹣1，則
f（x）的定義域為（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（﹣∞，﹣1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）（- ∞，﹣1）不成立，則必有（t，a）（1，+∞），
此時，f（x）的值域為（1，+∞），
又由函數f（x）為減函數，必有f（a）=1且=0；
解可得，t=﹣1，a=1+；
故t=﹣1，a=1+．