Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²="0." (l)若a是從0,1,2,3四個數中任取的一個數，b是從0,1,2三個數中任取的一個數，求方程有實根的概率；(2)若a是從區間[0，t+1]任取的一個數，b是從區間[0,t]任取的一個數，其中t滿足2≤t≤3，求方程有實根的概率，并求出其概率的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）本小題為古典概型求概率的問題，先求出a與b構成的實數對(a,b)總個數即基本事件的總數，再一一進行檢驗符合的實數對即可求出其概率；（2）本小題為幾何概型求概率的問題，由0≤a≤t+1，0≤b≤t利用線性規劃的知識（a看直角坐標系中的x，b看成直角坐標系中的y）可畫出如下圖的矩形，又a≥b（即為y≤x區域）則符合條件的陰影部分區域為梯形，因此所求的概率為，其次根據t的范圍利用不等式的性質求出P的范圍即可找到其最大值.
試題解析：(1)總的基本事件有12個，即a,b構成的實數對(a,b)有（0,0），（0，1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）.設事件A為“方程有實根”,包含的基本事件有(0，0)，（1,0），（1,1），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）共9個，所以事件A的概率為P(A)==；
(2)a，b構成的實數對(a，b)滿足條件有0≤a≤t+1，0≤b≤t，a≥b，設事件B為“方程有實根”，則此事件滿足幾何概型. 如圖，

，∵2≤t≤3，∴3≤t+1≤4，即，所以，即≤P(B)≤，所以其概率的最大值為.
考點：古典概型的概率公式，幾何概型的概率公式，一元二次方程根的判別式，線性規劃問題，不等式的性質，化歸思想.