Question

已知函數滿足，對任意都有，且．

（1）求函數的解析式；

（2）是否存在實數，使函數在上為減函數？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在實數，.

【解析】

試題分析：（1）根據 求得；

根據對任意，有，確定圖像的對稱軸為直線，求得；

利用對任意都有，轉化成對任意成立，解得.

（2）化簡函數 ，其定義域為，

令，利用復合函數的單調性，得到求解，得，肯定存在性.

試題解析：

（1）由及 ∴      1分

又對任意，有

∴圖像的對稱軸為直線，則，∴        3分

又對任意都有，

即對任意成立，

∴，故                                   6分

∴                                               7分

（2）由（1）知 ，其定義域為     8分

令

要使函數在上為減函數，

只需函數在上為增函數，                11分

由指數函數的單調性，有，解得            13分

故存在實數，當時，函數在上為減函數      14分

考點：二次函數的圖象和性質，待定系數法，復合函數的單調性，對數函數的性質.