Question

（2006•朝陽區一模）已知函數f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（m，2m+1）上為增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若P（x₀，y₀）為f(x)=

ax

x2+b

圖象上的任意一點，直線l與f(x)=

ax

x2+b

的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意對函數求導，然后利用極值的概念列出關于a，b的方程，求解即可；
（II）由題意應該先求具體函數的單調增區間，然后利用已知的條件及集合的思想，建立的m取值范圍的不等式組求解即可；
（III）找出直線l的斜率k=f′（x₀），再利用換元法求出k的最小值和最大值，即可得到直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）已知函數f(x)=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

又函數f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

由f'（x）＞0，得4-4x²＞0，
即-1＜x＜1所以f(x)=

4x

x2+1

的單調增區間為（-1，1）
因函數f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0即m∈（-1，0]時，函數f（x）在（m，2m+1）上為增函數…（8分）
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

&∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

直線l的斜率k=f′(x0)=

4( x 2 0 +1)-8 x 2 0

( x 2 0 +1)2

，即k=4[

2

( x 2 0 +1)2

-

1

x 2 0 +1

]，令

1

x 2 0 +1

=t，t∈(0，  1]，
則k=4（2t²-t），t∈（0，1]
∴k∈[-

1

2

，  4]，
即直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

，  4]…（14分）．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及計算能力，解答的關鍵是導數工具的靈活運用．