Question

已知.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處有極值，求的單調遞增區間；
（3）是否存在實數，使在區間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)；（2）；（3）.

試題分析：(1)考查了導數的幾何意義，先求出切線的斜率，再用點斜式寫方程；（2）由求得，得令結合函數的定義域求解即可；（3）首先假設存在實數滿足題意，分三種情況研究函數的單調性尋找其最小值,是對函數單調性的考查.
試題解析：（1）由已知得的定義域為，
因為，所以當時，，所以，
因為，所以                       2分
所以曲線在點處的切線方程為
即.                          4分
（2）因為處有極值，所以，
由（1）知所以
經檢驗，時在處有極值.                         6分
所以令解得；
因為的定義域為，所以的解集為，
即的單調遞增區間為.                         8分
（3）假設存在實數a，使有最小值3，
①當時，因為，
所以在上單調遞減，
，解得（舍去）                   10分
②當上單調遞減，在上單調遞增，
，滿足條件.                  12分
③當，
所以 上單調遞減，，
解得，舍去.
綜上，存在實數，使得當有最小值3.             14分