Question

設f(n)＝2ⁿ－1(n∈N^*)，試問：n是怎樣的自然數時，f(n)是素數還是分數？

Answer 1

答案：
解析：

　　導思：對于此類問題，我們在推理的過程中，可以采用歸納推理，也可應用演繹推理，把兩種方法結合起來，由歸納獲得猜想假定，通過鑒別猜想假定的真偽，獲得確定結果后，再給予演繹證明．

　　探究：試驗——歸納——猜想．

　　取n＝1，2，…，10，所得結果列表如下：

　　由上表可知，當n為素數2，3，，5，7時，f(n)為素數；當n為合數4，6，8，9時，f(n)為合數．

　　繼續試探，當n＝11時，f(n)＝2¹¹－1＝2047＝23×89為合數．因此要放棄“n為素數時，f(n)為素數”的猜想．

　　再繼續試驗，當n＝12，14時，f(n)仍為合數，于是進一步猜想“n為合數時，f(n)為合數．”

　　用演繹法推證：

　　設n為合數，令n＝ml(m、l為大于1的自然數)，則

　　f(n)＝2ⁿ－1＝2^ml－1＝(2^m)^l－1^l

　　＝(2^m－1)[(2^m)^l－1＋(2^m)^l－2＋…＋(2m)^l－1]

　　因此2^ml－1可被2^m－1整除，又因為m＞1，l＞1，所以1＜2^m－1＜2^ml－1．據此可斷定“n為合數時，f(n)是合數”為真．