Question

已知二次函數f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）滿足f（1）=0，且關于x的方程f（x）+x+b=0的兩實數根分別在區間（-3，-2），（0，1）內．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）若函數F（x）=log_bf（x）在區間（-1-c，1-c）上具有單調性，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用g（-2）=＜0，g（-3）＞0、g（0）＜0、g（1）＞0，求實數b的取值范圍；
（2）f（x）在區間（-1-c，1-c）上為增函數，F（x）=log_bf（x）在（-1-c，1-c）上為減函數，利用（1）求實數c的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知f（1）=1+2b+c=0，
∴c=-1-2b
記g（x）=f（x）+x+b=x²+（2b+1）x+b+c=x²+（2b+1）x-b-1
則g（-3）=5-7b＞0
g（-2）=1-5b＜0∴

1

5

＜b＜

5

7

g（0）=-1-b＜0
g（1）=b+1＞0  即b∈（

1

5

，

5

7

）．（7分）
（2）令u=f（x）．∵0＜

1

5

＜b＜

5

7

＜1
∴log_bu在（0，+∞）是減函數
而-1-c=2b＞-b，函數f（x）=x²+2bx+c的對稱軸為x=-b
∴f（x）在區間（-1-c，1-c）上為增函數，
從而F（x）=log_bf（x）在（-1-c，1-c）上為減函數
且f（x）在區間（-1-c，1-c）上恒有f（x）＞0，
只需f（-1-c）≥0，
且c=-2b-1  （

1

5

＜b＜

5

7

） 所以-

17

7

＜c≤-2．（13分）

點評：本題考查函數的單調性，一元二次方程根的分布于系數的關系，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．