Question

已知函數.
（1）當時，求的極值；（2）當時，討論的單調性；
（3）若對任意的恒有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）當時.函數f(x)是一個對數函數和分式的和的形式.通過求導可以求出函數的有極小值，但沒極大值.
（2）當時.通過求導可得導函數的兩個零點，在定義域上分別對兩個零點的大小討論分類.從而得到函數的單調區間.
（3）由對任意的恒有成立.首先要求出函數f(x)在[1,3]上且的最大值.從而對于任意使得恒成立即可.再通過分離變量即可得到結論.本題前兩小題較為基礎但第二小題的分類做到清晰不容易，第三小題難度較大.
試題解析：（1）當時，     1分
由,解得.                                2分
∴在上是減函數，在上是增函數.               3分
∴的極小值為，無極大值.                   4分
（2）.  6分
①當時，在和上是減函數，在上是增函數；   7分
②當時，在上是減函數；                      8分
③當時，在和上是減函數，在上是增函數.    9分
（3）當時，由（2）可知在上是減函數，
∴.              10分
由對任意的恒成立，
∴                        11分
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，                         12分
由于當時，，∴.           14分