Question

已知函數f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)．
（1）若a＜0，則f（x）的定義域為

[

3

a

，+∞)

；
（2）若f（x）在區間（0，1]上是增函數，則實數a的取值范圍為

（0，1）

．

Answer 1

分析：（1）根據使函數解析式有意義的原則，構造不等式，結合a＜0，解不等式，可又求出函數的定義域；
（2）根據一次函數單調性與一次項系數的關系，冪函數的單調性，復合函數的單調性及kf（x），當k為正時與f（x）單調性相同，當k為負時與f（x）單調性相反，分類討論可得f（x）在區間（0，1]上是增函數時，實數a的取值范圍．

解答：解：（1）要使函數f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)的解析式有意義
3-ax≥0，由a＜0
解得x≥

3

a

∴f（x）的定義域為[

3

a

，+∞)
（2）由（1）得：當a＜0時，y=

3-ax

為增函數，此時a-1＜0
此時f（x）在區間[

3

a

，+∞)為減函數，
則在區間（0，1]上是減函數，不滿足條件；
當a=0時，f（x）=-

3

，此時函數不具單調性，不滿足條件；
當0＜a＜1時，y=

3-ax

為減函數，此時a-1＜0
此時f（x）在區間[

3

a

，+∞)為增函數，滿足條件；
當a＞1時，y=

3-ax

為減函數，此時a-1＞0
此時f（x）在區間[

3

a

，+∞)為減函數，不滿足條件；
綜上所述，實數a的取值范圍為（0，1）
故答案為：[

3

a

，+∞)，（0，1）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，函數的定義域及其求法，其中熟練掌握基本初等函數的單調性和復合函數單調性的確定方法是解答的關鍵．