Question

設f（x）=ln（1+x）-x-ax²．
（1）當x=1時，f（x）取到極值，求a的值；
（2）當a滿足什么條件時，f（x）在區間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調遞增的區間．

Answer 1

分析：（1）當x=1時，f（x）取到極值，即f′（1）=0，解得a的值；
（2）f（x）在區間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調遞增的區間，即f′（x）＞0時在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，解含參數的不等式．

解答：解：（1）由題意知f（x）的定義域為（-1，+∞），
且f′（x）=

1

1+x

-1-2ax=

-2ax2-(2a+1)x

1+x

，
當x=1時，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=-

1

4

；
當a=-

1

4

時，f′（x）=

x2-x

x+1

在（0，1）上小于0，f（x）是減函數，
f′（x）=

x2-x

x+1

在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函數，
∴f（1）是函數的極小值，∴a的值為-

1

4

；
（2）要使f（x）在區間[-

1

2

，-

1

3

]上有單調遞增的區間，
即f′（x）＞0在[-

1

2

，-

1

3

]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；
（i）當a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0滿足條件；
（ii）當a＞0時，有x＞-

2a+1

2a

，此時只要-

2a+1

2a

＜-

1

3

，解得：a＞-

3

4

，∴取a＞0；
（iii）當a＜0時，有x＜-

2a+1

2a

，此時只要-

2a+1

2a

＞-

1

2

，解得：a＞-1，∴取-1＜a＜0；
綜上，a滿足的條件是：a∈（-1，+∞）

點評：本題考查了利用導數判定函數的單調性、求函數的極值問題，也考查了含參數的不等式的解法問題．