Question

（本小題滿分12分）

在平面直角坐標系中，已知三點，，，曲線C上任意—點滿足：．

(l)求曲線C的方程；

(2)設點P是曲線C上的任意一點，過原點的直線L與曲線相交于M,N兩點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為，．試探究的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論；

(3)設曲線C與y軸交于D、E兩點，點M (0,m)在線段DE上，點P在曲線C上運動．若當點P的坐標為(0,2)時，取得最小值，求實數m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(l)  (2)  (3)

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，，

所以，

又，

所以，即. 

（2）因為過原點的直線與橢圓相交的兩點關于坐標原點對稱，

所以可設. 

因為在橢圓上，所以有

， ………① 

， ………②

①-②得

.

又,， 

所以，

故的值與點的位置無關，與直線也無關. 

（3）由于在橢圓上運動，橢圓方程為，故，且

.  因為，所以

．

由題意，點的坐標為時，取得最小值，即當時，取得最

小值，而，故有，解得．

又橢圓與軸交于兩點的坐標為、，而點在線段上，       即，亦即，所以實數的取值范圍是．

考點：求動點的軌跡方程及橢圓與直線相交的性質

點評：求軌跡方程的大體步驟：1建立直角坐標系，設出動點坐標,2找到關于動點的關系式，3關系式坐標化，整理化簡，4除去不滿足題意要求的個別點。本題第二三小題較復雜，學生很難達到滿分