Question

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析.（2）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的面面垂直和線面角的求解運用。第一問中，利用∴平面得到平面平面；第二問中，

由（1）所證，平面 

所以∠即為二面角P-BC-D的平面角，即∠

然后分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，平面的法向量為利用斜線與法向量的夾角來求解。

 (1)證明：∵       ∴

       又∵⊥底面       ∴

      又∵           ∴平面

       而平面

   ∴平面平面              

（2）由（1）所證，平面 

所以∠即為二面角P-BC-D的平面角，即∠

而，所以                

分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系。

 則，，，

所以，，，

設平面的法向量為，則   

即  可解得

∴與平面所成角的正弦值為