Question

設F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，若△ABF₂為銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是 ______．

Answer 1

由題意知∠AF₂F₁  小于45°，故 tan∠AF₂F₁  ;=

|AF1|

|F1F2|

＜1，即  

b2 a

2c

＜1，
b²＜2ac，a²-c²＜2ac，e²+2e-1＞0，∴e＞

2

-1，或 e＜-1-

2

 （舍去）．
又 0＜e＜1，故有  

2

-1＜e＜1，
故答案為：

2

-1＜e＜1．