Question

（2013•茂名二模）設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列命題：
①函數f（x）=log 

1

2

x為（0，+∞）上的高調函數；
②函數f（x）=sinx為R上的高調函數；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的高調函數，那么實數m的取值范圍是[2，+∞）；
其中正確的命題的個數是（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：①根據f（x）=log

1

2

x是（0，+∞）的減函數，判定它不是高調函數；
②f（x）=sinx為R上的2π高調函數；
③函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，有

m＞0 -2m+m2≥0

，解得m的取值范圍；

解答：解：對于①，f（x）=log

1

2

x是（0，+∞）上的減函數，不是高調函數；
對于②，∵sin（x+2π）≥sinx，
∴函數f（x）=sinx為R上的2π高調函數；
對于③，∵如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，則有

m＞0 -2m+m2≥0

；
∴m≥2，∴實數m的取值范圍是[2，+∞）；
綜上，正確的命題序號是②③．
故選：C．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與說明，以及基本初等函數的性質，對于一個新定義的概念，解題時要注意理解與把握．