Question

如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面，并求此時(shí)的長(zhǎng)；
（3）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.

試題分析：本題有兩種方法，第一種是傳統(tǒng)方法：（1）連接，先由正方體的性質(zhì)得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設(shè)四點(diǎn)、、、四點(diǎn)共面，利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長(zhǎng)度，再結(jié)合勾股定理得到的長(zhǎng)度，最終得到的長(zhǎng)度；（3）先延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，找出由平面與平面所形成的二面角的棱，借助平面，從點(diǎn)在平面內(nèi)作，連接，利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中計(jì)算的余弦值；
第二種方法是空間向量法：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，確定與的坐標(biāo)，利用來(lái)證明，進(jìn)而證明
；（2）先利用平面與平面平行的性質(zhì)定理得到，然后利用空間向量共線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度；（3）先求出平面和平面的法向量，結(jié)合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角，最后再利用兩個(gè)平面的法向量的夾角來(lái)進(jìn)行計(jì)算.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下圖所示，假設(shè)、、、四點(diǎn)共面，則、、、四點(diǎn)確定平面，

由于為正方體，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
由平面與平面平行的判定定理得，
同理可得，因此四邊形為平行四邊形，，
在中，，，，
由勾股定理得，
在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，
由勾股定理可得，
結(jié)合圖形可知，解得；
（3）延長(zhǎng)、，設(shè)，連接，則是平面與平面的交線，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117132624.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117194460.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，
所以為平面與平面所成二面角的平面角，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401173041377.png" style="vertical-align:middle;" />，即，因此，

在中，，，
所以，
即，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401175381363.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以，
所以，故平面與平面所成二面角的余弦值為.
空間向量法：
（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，

所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117912942.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，所以；
（2）設(shè)，因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040117990572.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
平面平面，平面平面，所以，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240401180991012.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，
所以，，所以，
故當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共面；
（3）由（1）知，，
設(shè)是平面的法向量，
則，即，
取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，
而是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面所成的二面角為，
則，
故平面與平面所成二面角的余弦值為；
第（1）、（2）問(wèn)用推理論證法，第（3）問(wèn)用空間向量法，
（1）、（2）給分同推理論證法.
（3）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，
則，，
設(shè)是平面的法向量，

則，即，
取，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，
而是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面所成的二面角為，
則，
故平面與平面所成二面角的余弦值為；