Question

（2012•石景山區一模）若數列{A_n}滿足An+1=An2，則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”．已知數列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數．
（Ⅰ）證明數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”，且數列{lg（2a_n+1）}為等比數列；
（Ⅱ）設（1）中“平方遞推數列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式；
（Ⅲ）記bn=log2an+1Tn，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=2x²+2x的圖象，結合新定義，可得數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”，兩邊取對數，即可證得數列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5公比為2的等比數列；
（II）由題意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，從而可得數列{a_n}的通項，進而先求對數的和，即可求得結論；
（III）確定數列{b_n}的通項，利用等比數列的求和公式可結論．

解答：（I）證明：因為an+1=2an2+2an，2an+1+1=2(2an2+2an)+1=(2an+1)2
所以數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”．--------（2分）
由以上結論lg(2an+1+1)=lg(2an+1)2=2lg(2an+1)，
所以數列{lg（2a_n+1）}為首項是lg5公比為2的等比數列．--------（4分）
（II）解：由題意，lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2n-1=2n-1lg5=lg52n-1，
∴2an+1=52n-1，an=

1

2

(52n-1-1)．--------（6分）
∴lgTn=lg(2a1+1)+…+lg(2an+1)=(2n-1)lg5，
∴Tn=52n-1．--------（9分）
（III）解：bn=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，
∴數列{b_n}的前n項和Sn=2n-2+

1

2n-1

．--------（13分）
[注：若有其它解法，請酌情給分]

點評：本題考查新定義，考查數列的通項與求和，解題的關鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．