Question

（2011•洛陽二模）設函數f（x）的定義域為R，f（x）=

x，0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，-1≤x＜0.

且對任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在區間[-1，3]上函數g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同零點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  1

  2

  ]
• B．[0，

  1

  4

  ）
• C．（0，

  1

  2

  ]
• D．（0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：先確定2是f（x）的周期，作出函數的圖象，利用在區間[-1，3]上函數g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同零點，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：由題意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），所以2是f（x）的周期
令h（x）=mx+m，則函數h（x）恒過點（-1，0）
函數f（x）=

x，0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，-1≤x＜0.

在區間[-1，3]上的圖象如圖所示
由x=3時，f（3）=1，可得1=3m+m，則m=

1

4

∴在區間[-1，3]上函數g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同零點時，實數m的取值范圍是（0，

1

4

]
故選D．

點評：本題考查函數的零點，考查數形結合的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．