Question

（2012•豐臺區一模）已知函數f(x)=

1

3

x3-ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a＞0，函數y=f（x）在區間（a，a ²-3）上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞2，求證：函數y=f（x）在（0，2）上恰有一個零點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，由題目條件知函數在x=1處的導數值為切線的斜率，從而建立關于a的方程，可求得a的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出其解x=0或x=2a，根據條件a＞0，得不在區間（a，a²-3）內，利用要使函數在區間（a，a ²-3）上存在極值，建立關于a的不等式，求a的取值范圍；
（Ⅲ）由（II）f'（x）=0求出其解，根據a＞2，得到f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函數f（x）在（0，2）內單調遞減，從而得出結論．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2ax，…（1分）
f'（1）=1-2a，…（2分）
因為曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0平行
所以1-2a=-1，…（3分）
所以a=1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，…（5分）
即f'（x）=x（x-2a）=0，所以 x=0或x=2a．                …（6分）
因為a＞0，所以x=0不在區間（a，a²-3）內，
要使函數在區間（a，a ²-3）上存在極值，只需a＜2a＜a²-3．      …（7分）
所以a＞3．                                                 …（9分）
（Ⅲ）證明：令f'（x）=0，所以 x=0或x=2a．
因為a＞2，所以2a＞4，…（10分）
所以f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，函數f（x）在（0，2）內單調遞減．
又因為f（0）=1＞0，f(2)=

11-12a

3

＜0，…（11分）
所以f（x）在（0，2）上恰有一個零點．                             …（13分）

點評：本題主要考查了函數在某點取得極值的條件，函數的零點，同時考查了導數的幾何意義等，以及學生靈活轉化題目條件的能力，是個中檔題．