Question

已知函數f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（x）在區間（0，

1

2

）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求單調區間，先求導，令導函數大于等于0即可．
（2）已知f（x）在區間（0，

1

2

）上是減函數，即f′（x）≤0在區間（0，

1

2

）上恒成立，然后用分離參數求最值即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=-x²+3x+1-lnx
∴f′(x)=-2x+3-

1

x

=

-(2x2-3x+1)

x

解f'（x）＞0，即：2x²-3x+1＜0
函數f（x）的單調遞增區間是(

1

2

， 1)．
（Ⅱ）f′（x）=-2x+a-

1

x

，∵f（x）在(0，

1

2

)上為減函數，
∴x∈(0，

1

2

)時-2x+a-

1

x

＜0恒成立．
即a＜2x+

1

x

恒成立．設g(x)=2x+

1

x

，則g′(x)=2-

1

x2

∵x∈(0，

1

2

)時，

1

x2

＞4，
∴g′（x）＜0，∴g（x）在(0，

1

2

)上遞減，
∴g（x）＞g（

1

2

）=3，∴a≤3．

點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強．