Question

在平面直角坐標系中，動點到兩點，的距離之和等于，設點的軌跡為曲線，直線過點且與曲線交于，兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在面積的最大值為.

解析試題分析：（1）根據橢圓的性質易得橢圓方程；（2）先設過點E的直線方程，然后把直線方程和橢圓方程聯立得關于y的一元二次方程，解出，，則 ，從而得△面積的表達式，再由不等式性質求得面積最大值．
試題解析：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以，為焦點，
長半軸長為2的橢圓，                   3分
故曲線C的方程為．            6分
（2）存在面積的最大值．              7分
因為直線過點，可設直線的方程為或（舍），
則整理得 ．            8分
由．設．
解得 ，  ．則 ．
因為．          11分
設，，．
則在區間上為增函數．所以．
所以，當且僅當時取等號，即．
所以的最大值為．                       14分
考點：1、橢圓的標準方程及性質；2、直線與橢圓相交問題；3、不等式的性質．