Question

已知直線y=-4上有一動點Q，過點Q作垂直于x軸的直線l₁，動點P在直線l₁上，若點P滿足OP⊥OQ（O為坐標原點 ），記點 P的軌跡為C
（1）求曲線C的方程
（2）過點A（-4，0）作直線l₂與曲線C交于M，N兩點，若與y軸交于點R，且

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），可得Q（x，-4），根據垂直直線的斜率之積為-1，利用直線的斜率公式列式，化簡即可得到曲線C的方程；
（2）設直線l₂方程為y=k（x+4），與拋物線消去x得

1

k2

y²-（

8

k

+4）y+16=0．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達定理得到y₁+y₂=4k²+8k，y₁y₂=16k²．然后將

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

轉化為關于y₁、y₂和k的等式，代入前面證出的關系式化簡得到關于k的方程，解出k值即可得到直線l₂的方程．

解答：解：（1）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（x，-4）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
當x≠0時，得

y

x

•

-4

x

=-1，化簡得x²=4y．
當x=0時，P、O、Q三點共線，不符合題意，故x≠0．
綜上所述，曲線C的方程為x²=4y（x≠0）；
（2）設直線l₂的方程為y=k（x+4），（k＞0）
由

y=k(x+4) x2=4y

消去x，得

1

k2

y²-（

8

k

+4）y+16=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k²+8k，y₁y₂=16k²．
設直線l₂的傾斜角為α，則|AM|=

y1

sinα

，|AN|=

y2

sinα

，|AR|=

|OR|

sinα

=

4k

sinα

∵

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

，∴

1

y1 sinα

+

1

y2 sinα

=

3

4k sinα

，
化簡得

y1+y2

y1y2

=

3

4k

，即

4k2+8k

16k2

=

3

4k

，解之得k=1，
因此，直線l₂的方程為y=x+4．

點評：本題給出動點滿足的條件，求軌跡方程并求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、拋物線的簡單幾何性質和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．