Question

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2），以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或.

解析試題分析：本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用得到N是的中點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，利用得M、P、共線，在三角形中，利用中位線得，利用得到F₁M⊥PN，在三角形中，中點(diǎn)和高的垂足重合，得|PM|=|PF₁|，由雙曲線的定義可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，（ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求出和，利用點(diǎn)P在橢圓上進(jìn)行的轉(zhuǎn)化，計(jì)算出結(jié)果為常數(shù)即可，（ⅱ）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，寫出坐標(biāo)，利用，列出等式，求出定點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：（1）連接ON∵ ∴點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn) ∴|MF₂|=2|NO|=2
∵ ∴F₁M⊥PN   ∴|PM|=|PF₁|
∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線.
點(diǎn)P的軌跡方程是                    4分
（2）（ⅰ），，令，則由題設(shè)可知，
直線的斜率，的斜率，
又點(diǎn)在橢圓上，所以（），
從而有.          8分
（ⅱ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，又易求 
得、.
所以、.
故有.又，化簡(jiǎn)后得到以
為直徑的圓的方程為.    11分
令，解得或.   13分
所以以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)或.    14分
考點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.