Question

（選做1）設a，b，c都為正數，求證：

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

≤

1

a

+

1

b

+

1

c

≤

a8+b8+c8

(abc)3

．

Answer 1

分析：根據所要證不等式的特點，先證明一個結論：當x＞0，y＞0，z＞0時，有x²+y²+z²≥xy+yz+xz，令x=

1

a

，y=

1

b

，z=

1

c

，得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

；同理：

a8+b8+c8

(abc)2

≥

a4b 4+b4c 4+c4a 4

(abc)2

，再繼續利用上述結論即可證得結論．

解答：解：當x＞0，y＞0，z＞0時，有x²+y²≥2xy，x²+z²≥2xz，y²+z²≥2yz，
∴2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+xz），∴x²+y²+z²≥xy+yz+xz，
令x=

1

a

，y=

1

b

，z=

1

c

，得：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

；
同理：

a8+b8+c8

(abc)2

≥

a4b 4+b4c 4+c4a 4

(abc)2

≥

a2b 4c 2+a 4b2c 2+c4a 2b 2

(abc)2

=

a2b 2c 2(a 2+b2 +c2 )

(abc)2

=a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
∴

a8+b8+c8

(abc)3

≥

ab+bc+ca

abc

=

1

a

+

1

b

+

1

c

．
綜上所述，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

≤

1

a

+

1

b

+

1

c

≤

a8+b8+c8

(abc)3

．

點評：本小題主要考查不等式的證明、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．