Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二項、第三項、第四項．
（I）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{c_n}對任意正整數n均有

c1

b1

+

c2

mb2

+

c3

m2b3

+…+

cn

mn-1bn

=（n+1）a_n+1成立，其中m為不等于零的常數，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依已知可先求首項和公差，進而求出通項a_n和b_n，在求首項和公差時，主要根據先表示出等差數列的三項，根據這三項是等比數列的三項，且三項成等比數列，用等比中項的關系寫出算式，解出結果．
（2）由題先求出{a_n}的通項公式后再求S_n．仿寫一個題目所給的條件，兩式相減得到數列{c_n}的表達式，討論當3m=1和當3m≠1兩種情況，前一種用等差數列的前n項和公式，后一種情況用錯位相減法來解出結果．

解答：解：（1）由題意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得d=2（d=0不合題意舍去），
∴a_n=2n-1
由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
易求得b_n=3^n-1
（2）當n=1時，c₁=6；
當n≥2時，

cn

mn-1bn

=（n+1）a_n+1-na_n=4n+1，
∴c_n=（4n+1）m^n-1b_n=（4n+1）（3m）^n-1．
∴c_n=

6 n=1 (4n+1)(3m)n-1 n=2，3，4

當3m=1，即m=

1

3

時，
S_n=6+9+13+…+（4n+1）
=6+

(n-1)(9+4n+1)

2

=6+（n-1）（2n+5）=2n²+3n+1．
當3m≠1，即m≠

1

3

時，
S_n=c₁+c₂++c_n，即
S_n=6+9•（3m）+13•（3m）²++（4n-3）（3m）^n-2+（4n+1）（3m）^n-1．①
3mS_n=6•3m+9•（3m）²+13•（3m）³++（4n-3）（3m）^n-1+（4n+1）（3m）ⁿ．②
①-②得
（1-3m）S_n=6+3•3m+4•（3m）²+4•（3m）³++4•（3m）^n-1-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+4[（3m）²+（3m）³++（3m）^n-1]-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+

4[(3m)2-(3m)n]

1-3m

-（4n+1）（3m）ⁿ．
∴S_n=

6+9m-(4n+1)(3m)n

1-3m

+

4[(3m)2-(3m)n]

(1-3m)2

．
∴S_n=

m= 1 3 m≠ 1 3 .

點評：本題主要考查了數列的基本知識和解決數列問題的基本方法，如基本量法，錯位相減求和法等．本題是一個綜合題，若在高考題中出現時，應該是一個合格的題目．