Question

16、非空集合G關于運算⊕滿足：①對于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，則稱G關于運算⊕為和諧集，現有下列命題：
①G={a+bi|a，b為偶數}，⊕為復數的乘法，則G為和諧集；
②G={二次三項式}，⊕為多項式的加法，則G不是 和諧集；
③若⊕為實數的加法，G⊆R且G為和諧集，則G要么為0，要么為無限集；
④若⊕為實數的乘法，G⊆R且G為和諧集，則G要么為0，要么為無限集，其中正確的有

②③

．

Answer 1

分析：根據已知中關于和諧集的定義：非空集合G關于運算⊕滿足：①對于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，我們利用題目四個結論中所給的運算法則，對所給的集合進行判斷，特別是對特殊元素進行判斷，即可得到答案．

解答：解：對于G={a+bi|a，b為偶數}，⊕為復數的乘法，則根據偶數的和還是偶數，故滿足條件①，但不存在e∈G，使對一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，不滿足條件②，
故①“G={a+bi|a，b為偶數}，⊕為復數的乘法，則G為和諧集”不正確；
對于G={二次三項式}，若a、b∈G時，a，b的兩個同類項系數，則其和不再為三項式，故G不是 和諧集，故②正確；
對于⊕為實數的加法，G⊆R且G為和諧集，G要么為{0}時滿足要求，若G中存在不為0的實數元素，則必為無限集，故③正確；
若⊕為實數的乘法，G⊆R且G為和諧集，則G可以為{0}，也可以為{0，1}，故④錯誤；
故答案為：②③

點評：此題以集合為載體，通過新定義“融洽集”，解決這類型題目時，心情平和是很重要的，對于每個小題，采用把這里的運算⊕換成每個小題給出的運算，逐個驗證就可得出正確答案．從這個題可以看出，對于常見的集合中的特殊元素，我們應該引起足夠的重視．