Question

設函數f（x）=

2x2+2x

x2+1

，函數g（x）=ax²+5x-2a．
（1）求f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對于（1）有函數式化簡后用換元法求值域．
對于（2）由題意可知對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，等價于f（x）的值域[0，2]是函數y=g（x）在x∈[0，1]的值域的子集．

解答：解：（1）y=

2x2+2x

x2+1

=

2(x2+1)+2x-2

x2+1

=2+

2(x-1)

x2+1

，
令x-1=t，則x=t+1，t∈[-1，0]，y=2+

2t

t2+2t+2

，
當t=0時，y=2；當t∈[-1，0），y=2+

2

t+ 2 t +2

，
由對勾函數的單調性得y∈[0，2），故函數在[0，1]上的值域是[0，2]；
（2）f（x）的值域是[0，2]，要g（x₀）=f（x₁）成立，則[0，2]⊆{y|y=g（x），x∈[0，1]}
①當a=0時，x∈[0，1]，g（x）=5x∈[0，5]，符合題意；
②當a＞0時，函數g（x）的對稱軸為x=-

5

2a

＜0，故當x∈[0，1]時，函數為增函數，則g（x）的值域是[-2a，5-a]，由條件知[0，2]⊆[-2a，5-a]，∴

a＞0 -2a≤0 5-a≥2

?0＜a≤3；
③當a＜0時，函數g（x）的對稱軸為x=-

5

2a

＞0．
當0＜-

5

2a

＜1，即a＜-

5

2

時，g（x）的值域是[-2a，

-8a2-25

4a

]或[5-a，

-8a2-25

4a

]，
由-2a＞0，5-a＞0知，此時不合題意；當-

5

2a

≥1，即-

5

2

≤a＜0時，g（x）的值域是[-2a，5-a]，
由[0，2]⊆[-2a，5-a]知，由-2a＞0知，此時不合題意．
綜合①②③得0≤a≤3．

點評：此題（1）考查考查了有解析式選擇換元法求函數值域．
此題（2）考查了等價轉化思想及判斷含有字母參數集合關系時分類討論的思想．