Question

已知圓C經過A（3，2）、B（4，3）兩點，且圓心在直線y=2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線l經過點P（-1，3）且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，，依題意得：

(3-a)2+(2-b)2=r2 (4-a)2+(3-b)2=r2 b=2a

，解出待定系數，可得圓 C的方程．
（2）當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程，由圓心到直線的距離等于半徑解出k值，從而得到直線l的方程．

解答：解：（1）設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，，依題意得：

(3-a)2+(2-b)2=r2 (4-a)2+(3-b)2=r2 b=2a

，
解得 a=2，b=4，r=

5

．所以，圓 C的方程為 （x-2）²+（y-4）²=5．

（2）由于直線l經過點P（-1，3），
當直線l的斜率不存在時，x=-1與圓C （x-2）²+（y-4）²=5 相離．
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為 y-3=k（x+1），即：kx-y+3=0．
因為直線l與圓相切，且圓的圓心為（2，4），半徑為

5

，所以，有
 

|2k-4+k+3|

k2+1

=

5

．  解得 k=2 或 k=-

1

2

．
所以，直線l的方程為 y-3=2（x+1）或y-3=-

1

2

 （x+1），即：2x-y+5=0 或x+2y-5=0．

點評：本題考查用待定系數法求圓的方程以及直線方程的方法，體現了分類討論的數學思想．