Question

設橢圓C：

x2

λ+1

+y2=1（λ＞0）的兩焦點是F₁，F₂，且橢圓上存在點P，使

PF1

•

PF2

=0
（1）求實數λ的取值范圍；
（2）若直線l：x-y+2=0與橢圓C存在一公共點M，使得|MF₁|+|MF₂|取得最小值，求此最小值及此時橢圓的方程．
（3）在條件（2）下的橢圓方程，是否存在斜率為k（k≠0）的直線?，與橢圓交于不同的兩點A、B，滿足

AQ

=

QB

，且使得過點Q，N（0，-1）兩點的直線NQ滿足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由

PF

1•

PF2

=0可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ，再結合基本不等式列不等關系，即可解得實數λ的取值范圍；
（2）將直線的方程與橢圓C的方程組成方程組，消去y得到關于x的方程，再根據△≥0得λ的取值范圍，最后根據函數的值域求出|MF₁|+|MF₂|取得最小值及此時橢圓的方程即可；
（3）設兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點Q（x，y），先將A，B兩點的坐標代入橢圓方程，兩式相減得Q（x，y）的軌跡方程，再求出求得點Q的坐標，最后根據Q在橢圓內即可求出k的取值范圍．

解答：解（1）由橢圓定義可得：|PF1|+|PF2|=2

λ+1

由

PF

1•

PF2

=0可得|PF₁|²+|PF₂|²=4λ
而|PF1|2+|PF2|2≥

(|PF1|+|PF2|)2

2

∴4λ≥2（λ+1）解得λ≥1（3分）．
（2）由x-y+2=0，

x2

λ+1

+y2=1，得（λ+2）x²+4（λ+1）x+3（λ+1）=0
△=16（λ+1）²-12（λ+2）（λ+1）=4（λ+1）（λ-2）≥0•
解得λ≥2或λ≤-1（舍去）∴λ≥2此時|MF1|+|MF2|=2

λ+1

≥2

3

當僅當λ=2時，|MF₁|+|MF₂|取得最小值2

3

，此時橢圓方程為

x2

3

+y2=1（8分）
（3）由

AQ

=

QB

知點Q是AB的中點．設兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點Q（x，y），則

x12

3

+y12=1

x22

3

+y22=1兩式相減得

(x 1+x2)(x1-x2)

3

+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴

y2-y1

x2-x1

=-

x2+x1

3(y2+y1)

∴AB中點Q（x，y）的軌跡為直線y=-

1

3k

x①
且在橢圓內的部分．又由

NQ

•

AB

=0可知，NQ⊥AB，
所以直線NQ的斜率為-

1

k

，方程為y=-

1

k

x-1②
聯立①、②可求得點Q的坐標為(-

3k

2

，

1

2

)
∵點Q必在橢圓內，

(- 3k 2 )2

3

+(

1

2

)，1，解得k²＜1
又∵k≠0，∴k∈（-1，0）∪（0，1）（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的定義和標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題、平面向量數量積的運算等．直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．