Question

在R上定義運算（b、c為實常數）。記，，。令。
（Ⅰ）如果函數在處有極值，試確定b、c的值；
（Ⅱ）求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
（Ⅲ）記的最大值為，若對任意的b、c恒成立，試示的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），或，
（Ⅲ）

由R上運算的定義及函數的表達式，
可得∴。
（Ⅰ）∵函數在處有極值，∴，
得，
從而解得，或，
但當，時，
，恒成立，
從而當，時，單調遞減，故不是極值點而是拐點。
所以，要舍去。
當，時，則。當變化時，、的變化情況如下表：

				1
	﹣		﹢		﹣
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當x=1時，在有極大值。因此，。
（Ⅱ）設x₀是曲線上的斜率為c的切線與曲線的切點，則
，得x₀=0或x₀=2b，當x₀=0時；
當x₀=2b時，故切線的方程為
或，聯立
得或
聯立得，，
解得或
綜上所述，曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點為，
或，。
（Ⅲ）記，（），
（），
的對稱軸為
（1）當時，，對稱軸：x=b在區間外面，從而在
上的最大值在區間端點處取得。
記g（1），g（-1）中的最大者為，則，
所以，而，故當
時M＞2。
（2）當時，，區間跨越對稱軸：x=b，
從而此時，
因為，所以，
。
①當時，，所以，因此


②當時，，所以，因此

綜上所述，對，都有成立。
故對任意的b、c恒成立的的最大值為。