Question

（14分）已知函數，其中a是實數，設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數圖象上的點，且x₁＜x₂．

（I）指出函數f（x）的單調區間；

（II）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值；

（III）若函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（﹣1，0）上單調遞增（II）1（III）（﹣1﹣ln2，+∞）

【解析】（I）當x＜0時，f（x）=（x+1）²+a，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上單調遞減，在（﹣1，0）上單調遞增；

當x＞0時，f（x）=lnx，在（0，+∞）單調遞增．

（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，

∴函數f（x）在點A，B處的切線的斜率分別為f^′（x₁），f^′（x₂），

∵函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，

∴，

∴（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1．

∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，

∴=1，當且僅當﹣（2x₁+2）=2x₂+2=1，即，時等號成立．

∴函數f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂﹣x₁的最小值為1．

（III）當x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時，∵，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．

當x₁＜0時，函數f（x）在點A（x₁，f（x₁）），處的切線方程為

，即．

當x₂＞0時，函數f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為，即．

函數f（x）的圖象在點A，B處的切線重合的充要條件是，

由①及x₁＜0＜x₂可得﹣1＜x₁＜0，

由①②得=．

∵函數，y=﹣ln（2x₁+2）在區間（﹣1，0）上單調遞減，

∴a（x₁）=在（﹣1，0）上單調遞減，且x₁→﹣1時，ln（2x₁+2）→﹣∞，即﹣ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．

x₁→0，a（x₁）→﹣1﹣ln2．

∴a的取值范圍是（﹣1﹣ln2，+∞）．