Question

設α、β為函數g（x）=2x²-mx-2的兩個零點，m∈R且α＜β，函數f(x)=

4x-m

x2+1

•
（ I）求f（a）•g（x）的值；
（Ⅱ） 證明：函數f（x）在[α，β]上為增函數；
（III） 是否存在實數m，使得函數f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差達到最小．若存在，則求出實數m的值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（ I）由題意并根據一元二次方程根與系數的關系可得

α+β= m 2 αβ=-1

，運算可得f（α）•f（β）=

4a-m

a2+1

×

4β-m

β2+1

的值．
（Ⅱ）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂ ，依據條件判斷f（x₁）-f（x₂）＜0，從而得到函數f（x）在[α，β]上為增函數．
（III）函數f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差為 f(β)-f(α)=f(β)+

4

f(β)

≥4，當且僅當 f（β）=

4

f(β)

時，等號成立，此時，f（β）=2，即2β²-mβ-2=0，可得m=0．

解答：解：（ I）由題意可得

α+β= m 2 αβ=-1

，故 f（α）•f（β）=

4a-m

a2+1

×

4β-m

β2+1

=

16αβ-4m(α+β)+m2

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=-4．（4分）
（Ⅱ）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂ ，可得f(x1)-f(x2)=

(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)]

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

．
∵（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，兩式相加可得 2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0．
∵α+β=

m

2

，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₂+x₁）]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函數f（x）在[α，β]上為增函數．（4分）
（III）函數f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差為 f(β)-f(α)=f(β)+

4

f(β)

≥4，
當且僅當 f（β）=

4

f(β)

 時，等號成立，此時，f（β）=2，即

4β-m

β2+1

=2，2β²-mβ-2=0．
結合α+β=

m

2

，αβ=-1可得m=0．
綜上可得，存在實數m=0，滿足條件．（5分）

點評：本題主要考查函數的零點的定義，二次函數的性質，一元二次方程根與系數的關系，屬于基礎題．