Question

已知函數，設正項數列a_n的首項a₁=2，前n 項和S_n滿足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N⁺）．
（1）求a_n的表達式；
（2）在平面直角坐標系內，直線l_n的斜率為a_n，且l_n與曲線y=x²相切，l_n又與y軸交于點D_n（0，b_n），當n∈N^*時，記，若，設T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，求．

Answer 1

解：（1）由得：，∴數列是以為公差的等差數列，
∴，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．
∴a_n=4n-2，n∈N⁺．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由?x²-a_nx-b_n=0．
據題意知方程有相等實根，∴△=a_n²+4b_n=0，
∴，
當n∈N⁺時，=，∴=，
=．
∴
分析：（1）由得：，，所以，由此能求出a_n．
（2）設l_n：y=a_nx+b_n，由，知x²-a_nx-b_n=0，據題意知方程有相等實根，所以，由此能夠推導出．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意極限的合理運用．