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已知函數f(x)(x∈R)滿足下列條件:對任意的實數x1,x2都有

λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,

其中λ是大于0的常數,設實數a0,a,b滿足f(a0)=0和b=a-λf(a).

(1)證明λ≤1,并且不存在b0≠a0,使得f(b0)=0;

(2)證明(b-a0)2≤(1-λ2)(a-a0)2;

(3)證明［f(b)］2≤(1-λ2)［f(a)］2.

思路分析:(1)利用不等式的傳遞性及反證法證明;(2),(3)都是由構造法,結合不等式的傳遞性證明.

證明:(1)任取x1,x2∈R,x1≠x2,

則由λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］①

和|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,②

可知,λ(x1-x2)2≤(x1-x2)［f(x1)-f(x2)］≤|x1-x2|·|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|2,

從而λ≤1.

假設有b0≠a0,使得f(b0)=0,

則由①式知0＜λ(a0-b0)2≤(a0-b0)［f(a0)-f(b0)］=0,矛盾.

所以不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.

(2)由b=a-λf(a),③

可知(b-a0)2=［a-a0-λf(a)］2=(a-a0)2-2λ(a-a0)f(a)+λ2［f(a)］2.④

由f(a0)=0和①式,得(a-a0)f(a)=(a-a0)［f(a)-f(a0)］≥λ(a-a0)2.⑤

由f(a0)=0和②式知,［f(a)］2=［f(a)-f(a0)］2≤(a-a0)2.⑥

則將⑤⑥代入④式,得(b-a0)2≤(a-a0)2-2λ2(a-a0)2+λ2(a-a0)2=(1-λ2)(a-a0)2.

(3)由③式,可知［f(b)］2=［f(b)-f(a)+f(a)］2

=［f(b)-f(a)］2+2f(a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

≤(b-a)2-2·［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

=λ2［f(a)］2-(b-a)［f(b)-f(a)］+［f(a)］2

≤λ2［f(a)］2-·λ·(b-a)2+［f(a)］2

=λ2［f(a)］2-2λ2［f(a)］2+［f(a)］2

=(1-λ2)［f(a)］2.

練習冊系列答案
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已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
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x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
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4c2
k(k+c)
．

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已知函數f(x)=(
x
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-1)2+(
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x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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B．f（x）是偶函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）是偶函數
C．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）一定是奇函數或偶函數
D．f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（x）+g（x）可以是奇函數或偶函數

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