Question

過點M（4，2）作x軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長為4

2

．
（I）求p的值；
（II）過拋物線C上兩點A，B分）別作拋物線C的切線l₁，l₂．
（i）若l₁，l₂交于點M，求直線AB的方程；
（ii）若直線AB經過點M，記l₁，l₂的交點為N，當S△ABN=28

7

時，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（I）由已知得點(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，代入得即可求出p的值；
（II）設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直線AB方程為y=kx+b．將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數(shù)的關系及導數(shù)的幾何意義即可求解．
（i）由題意得M（4，2）是l₁與l₂的交點，從而解決問題．
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），從而求得三角形的面積列出方程求得k值，進而求點N的坐標．

解答：解：（I）由已知得點(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，（2分）
代入得8=4p，故p=2．（4分）
（II）設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，直線AB方程為y=kx+b．
由

y=kx+b x2=4y

得x2-4kx-4b=0，
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．（6分）
又y=

1

4

x2求導得y′=

x

2

，
故拋物線在A，B兩點處的切線斜率分別為

x1

2

，

x2

2

，
故在A，B點處的切線方程分）別為l1：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

和l2：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，
于是l₁與l₂的交點坐標為(

x1+x2

2

，

x1•x2

4

)，即為（2k，-b）．（8分）
（i）由題意得M（4，2）是l₁與l₂的交點，
故

2k=4 -b=2

即

k=2 b=-2

故直線AB的方程為2x-y-2=0．（9分）
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8，
故l₁與l₂的交點N坐標為（2k，4k-2）．（11分）
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=4

(1+k2)(k2-4k+2)

，
點N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

，
故S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3．（13分）
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

，
即

k2-4k+2

=

7

，得k=-1或5，（14分）
故點N的坐標為（-2，-6）或（10，18）．（15分）

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線的方程、拋物線方程等基礎知識，考查運算求解能力、方程思想．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式），屬于中檔題．