Question

冪函數f（x）=xⁿ的圖象過點(

1

2

，8)，則n=

 

，若f（a-1）＜1，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據冪函數f（x）過點(

1

2

，8)，列出關于n的方程，求解即可得到n的值；根據冪函數的解析式，去掉“f”，列出關于a的不等式，求解即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵冪函數f（x）=xⁿ的圖象過點(

1

2

，8)，
∴(

1

2

)n=8，即2^-n=2³，
∴-n=3，即n=-3；
∴f（x）=x^-3，
根據冪函數的性質可知，函數f（x）在（-∞，0）的值域為（-∞，0），
①當a-1＜0，即a＜1時，f（a-1）＜0＜1恒成立，
②當a-1＞0，即a＞1時，f（a-1）＜1，即（a-1）^-3＜（a-1）⁰，
又∵-3＜0，
∴a-1＞1，解得a＞2，
綜合①②可得，a的取值范圍是a＜1或a＞2．
故答案為：-3；a＜1或a＞2．

點評：本題考查了冪函數的概念、解析式，定義域和單調性．考查了求冪函數的解析式問題，運用了待定系數法的解題方法，求解析式一般選用待定系數法、換元法、配湊法、消元法等．還考查了利用冪函數的單調性求解不等式，對于冪函數的問題，關鍵是正確的畫出冪函數的圖象，根據冪函數在第一象限的圖形，結合冪函數的定義域、奇偶性，即可畫出冪函數的圖象，應用圖象研究冪函數的性質．屬于基礎題．