Question

已知O為坐標原點，

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，動點P滿足|

PA

|+|

PB

|=10
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）求

PA

•

PB

的最小值；
（3）若Q（1，0），試問動點P的軌跡上是否存在M、N兩點，滿足

NQ

=

4

3

QM

？若存在求出M、N的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知，動點P的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且長軸長2a=10，根據橢圓的標準方程即可求出．
（2）點P與A，B顯然構成焦點三角形，利用焦點三角形中三邊關系，以及余弦定理，均值不等式，很容易求出

PA

•

PB

范圍，進而求出最小值．
（3）先假設存在M、N兩點，滿足

NQ

=

4

3

QM

，再將過（1，0）的直線與橢圓聯立，利用韋達定理找到關于m的方程，即可求解

解答：解（1）∵

OA

=(-4，0)，

AB

=(8，0)，
∴A（-4，0），B（4，0）．
又∵動點P滿足|

PA

|+|

PB

|=10，
∴動點P的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，且長軸長2a=10∴a=5，b=3．
橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）

PA

•

PB

=|

PA

||

PB

|cos∠APB=|

PA

||

PB

|

| PA |2+| PB |2-4c2

2| PA || PB |

=2a²-2b²-|

PA

||

PB

|=18-|

PA

||

PB

|≥18-

(| PA |+| PB |)2

4

=-7，∴

PA

•

PB

的最小值為-7
（3）假設存在M、N兩點，滿足

NQ

=

4

3

QM

，則M，Q，N共線，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

NQ

=

4

3

QM

，可得

1-x2= 4 3 x1-1 -y2= 4 3 y1

，∴y2=-

4

3

y1．①
設方程為x=my+1，代入橢圓方程，化簡得，（9m²+25）y²+18my-216=0，
y₁+y₂=-

18m

9m2+25

，y₁y₂=-

216

9m2+25

，把①代入，得y₁=

54m

9m2+25

，y₁²=

162

9m2+25

∴m=

5

3

或-

5

3

點評：此題綜合考查了橢圓的定義、焦點三角形的應用，重點考查了直線與橢圓的關系，解題時要耐心細致，重點掌握．