Question

已知F₁，F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左右焦點，O是坐標原點，過F₂作垂直于x軸的直線MF₂交橢圓于M，設|MF₂|=d．
（1）證明：d，b，a成等比數列；
（2）若M的坐標為(

2

，1)，求橢圓C的方程；
[文科]在（2）的橢圓中，過F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=0，求直線l的方程．
[理科]在（2）的橢圓中，過F₁的直線l與橢圓C交于A、B兩點，若橢圓C上存在點P，使得

OP

=

OA

+

OB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設M點的坐標為（c，y₀），則|y₀|=d，代入橢圓方程，整理可得

d

b

=

b

a

，進而根據等比數列的定義得到結論；
（2）M的坐標為(

2

，1)，則c=

2

，d=1，進而求出a，b的值，可得橢圓C的方程；
[文科]設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=0，聯立方程，由韋達定理和向量垂直的充要條件構造關于直線斜率的方程，解方程求出直線斜率，可得直線l的方程．
[理科]設點P（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），進而根據

OP

=

OA

+

OB

，由韋達定理和向量加法坐標運算公式，構造關于直線斜率的方程，解方程求出直線斜率，可得直線l的方程．

解答：證明：（1）由條件知M點的坐標為（c，y₀），其中|y₀|=d，
∴

c2

a2

+

d2

b2

=1，d=b?

1- c2 a2

=

b2

a

，（3分）
∴

d

b

=

b

a

，
即d，b，a成等比數列．（4分）
解：（2）由條件知c=

2

，d=1，
∴

b2=a?1 a2=b2+2

(6分)
∴解得a=2，b=

2

．，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1（8分）
[文科]設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
當l⊥x軸時，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），
所以

OA

•

OB

≠0．（9分）
設直線l的方程為y=k（x+

2

），
代入橢圓方程得

x2

4

+

k2(x+ 2 )2

2

=1．（11分）
即（1+2k²）x²-4

2

k2x+4k²-4=0
所以x₁+x₂=

4 2 k2

1+2k2

，x₁?x₂=

4k2-4

1+2k2

．（13分）
由

OA

•

OB

=0得x₁?x₂+y₁?y₂=0
x1?x2+k2(x1+

2

)(x2+

2

)=(1+k2)x1?x2+

2

k2(x1+x2)+2k2=0
代入得

(1+k2)(4k2-4)

1+2k2

-

4 2 k2? 2 k2

1+2k2

+2k2=0，解得k=±

2

．
所以直線l的方程為y=±

2

(x+

2

)．（16分）
[理科]設點P（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OP

=

OA

+

OB

，得

x=x1+x2 y=y1+y2

當l⊥x軸時，A（-

2

，-1）、B（-

2

，1），
此時P（-2

2

，0）不在橢圓上．（9分）
設直線l的方程為y=k（x+

2

），
代入橢圓方程得（1+2k²）x²-4

2

k2x+4k²-4=0．（11分）
所以x₁+x₂=

4 2 k2

1+2k2

，x₁?x₂=

4k2-4

1+2k2

．（13分）
把點P（x，y）代入橢圓方程得

32k4

4(1+2k2)2

+

8k2

2(1+2k2)2

=1，解得k2=

1

2

，
所以直線l的方程為y=±

2

2

(x+

2

)．（16分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質，是高考的壓軸題型，綜合能力強，運算量大，屬于難題．