Question

已知正項數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，且滿足，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.

Answer 1

（1），；（2）詳見解析.

試題分析：（1）解以為變量的一元二次方程得出數(shù)列的通項公式，利用與之間的關(guān)系利用作差法求出數(shù)列的通項公式；（2）先求出數(shù)列的通項公式，方法一是將的前項和中的項一一配對并進(jìn)行裂項展開，然后利用裂項法求，進(jìn)而證明相應(yīng)不等式；方法二是將數(shù)列中的每一項進(jìn)行拆開，然后逐項求和，進(jìn)而證明相應(yīng)不等式.
試題解析：（1）由，得，
由于是正項數(shù)列，所以，
由可得當(dāng)時，，兩式相減得，
數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，；
（2），
方法一：
，

；
方法二：，

.