Question

已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，兩準線間的距離為

9

2

，并且與直線y=

1

3

(x-4)相交所得線段中點的橫坐標為-

2

3

，求這個雙曲線方程．

Answer 1

分析：設求雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線 y=

1

3

（x-4）與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將二者聯立，結合線段中點的橫坐標為-

2

3

，可求得線段中點的縱坐標為-

14

9

，再利用韋達定理可求得b²，c²與a²之間的關系，再由兩準線間的距離為

9

2

，可求得這個雙曲線方程．

解答：解：由題意可設所求雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
設直線 y=

1

3

（x-4）與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1 a2 2- y1 b2 2=1(1) x2 a2 2- y2 b2 2=1(2)

（1）-（2）得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

(x1+x2)b2

(y1+y2)a2

=

y1-y2

x1-x2

，
又由線段AB中點的橫坐標為-

2

3

可得，其縱坐標為

1

3

(-

2

3

-4)=-

14

9

，
∴x1+x2=2×(-

2

3

)=-

4

3

，y1+y2=2×(-

14

9

)=-

28

9

．
又∵

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，
∴

- 4 3 b2

- 28 9 a2

=

1

3

，
∴b2=

7

9

a2，c2=a2+b2=

16

9

a2，c=

4

3

a
又∵雙曲線兩準線間的距離為

9

2

，
∴2×

a2

c

=

9

2

，
∴2×

a2

4 3 a

=

9

2

∴a=3，a²=9，c²=

16

9

a²=16．
∴b²=c²-a²=7．
∴所求雙曲線方程為：

x2

9

-

y2

7

=1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查平方差法與韋達定理的使用，突出考查化歸思想與方程思想，培養學生綜合分析問題與解決問題的能力，屬于難題．