Question

（2013•朝陽區一模）已知函數f(x)=

3

2

sinωx-sin2

ωx

2

+

1

2

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為sin(ωx+

π

6

)，由此求得它的最小正周期．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范圍，即可得到函數f（x）的單調遞增區間．
（Ⅱ）因為x∈[0，

π

2

]，根據正弦函數的定義域和值域求得函數f（x）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx-

1-cosωx

2

+

1

2

=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx=sin(ωx+

π

6

)．…（4分）
因為f（x）最小正周期為π，所以ω=2．…（6分）
所以f(x)=sin(2x+

π

6

)．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

．
所以函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）因為x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（10分）
所以-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．…（12分）
所以函數f（x）在[0，

π

2

]上的取值范圍是[-

1

2

，1]．…（13分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函數的單調性和周期性，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．