Question

（21）已知點的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂＝a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A _n－2A _n－1的中點，….

 

（Ⅰ）寫出x_n與x _n－1、x _n－2之間的關系式（n≥3）；

 

（Ⅱ）設a_n＝x _n＋1－x_n，計算a₁，a₂，a₃，由此推測數列｛a_n｝的通項公式，并加以證明；

 

（Ⅲ）求x_n.

Answer 1

（21）本題主要考查直線與橢圓等基礎知識，考查綜合運用數學知識和方法分析解決問題的能力.

（Ⅰ）解：當n≥3時，x_n＝.

（Ⅱ）解：a₁＝x₂－x₁＝a，

 

a₂＝x₃－x₂＝－x₂＝－（x₂－x₁）＝－a，

 

a₃＝x₄－x₃＝－x₃＝－（x₃－x₂）＝－（－a）＝（a）

 

由此推測a_n＝（－）^n－1a（n∈N）.

證法一：

因為a₁＝a＞0，且a_n＝x_n＋1－x_n＝－x_n＝＝－（x_n－x_n－1）＝－a_n－1

（n≥2），

 

所以a_n＝（－）^n－1（a）

 

證法二：

用數學歸納法證明：

（i）當n=1時，a₁=x_2－x₁=a=（）⁰a，公式成立.

（ii）假設當n=k時，公式成立，即a_k=()^k－1a成立.

那么當n＝k＋1時，

 

a_k＋1＝x_k＋2－x_k＋1＝－x_k＋1＝－（x_k＋1－x_k）＝－a_k＝－（－）^k－1a

 

＝（－）^{（k＋1）－1}a，公式仍成立.

 

根據（i）與（ii）可知，對任意n∈N，公式a_n＝（－）^n－1a成立.

（Ⅲ）解：當n≥3時，有

x_n＝（x_n－x_n－1）＋（x_n－1－x_n－2）＋…＋（x₂－x₁）＋x₁＝a_n－1＋a_n－2＋…＋a₁，

 

由（Ⅱ）知｛a_n｝是公比為－的等比數列，

 

所以x_n＝（a）.