Question

已知函數f(x)=2sin(2x-

π

4

)+2

2

cos2x．
（1）若tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)時，求：函數f（x）的值；
（2）若x∈[0，

π

2

]時，求：函數f（x）的最大值與最小值；
（3）用“五點法”畫出函數f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f（x）的解析式為

2

（sin2x+cos2x），由tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)，求出 sinx和cosx 的值，再
利用二倍角公式可得sin2x和cos2x的值，即得f（x）的值．
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+

π

4

)，若x∈[0，

π

2

]時，x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，當x+

π

4

=

π

2

 時，函數f（x）有最大值為2，當x+

π

4

=

5π

4

時，函數f（x）有最小值-

2

．
（3）函數f（x）的周期為π，列表，描點作圖，即得所求．

解答：解：（1）f(x)=2sin(2x-

π

4

)+2

2

cos2x=

2

（sin2x+cos2x）． 由tanx=-

1

3

，且x∈(

π

2

，π)，
可得 sinx=

10

10

，cosx=

-3 10

10

，∴sin2x=2sinxcosx=-

3

5

，cos2x=2cos²x-1=

4

5

，
 所以：f(x)=

2

5

．
（2）由（1）得：f(x)=2sin(2x+

π

4

)，若x∈[0，

π

2

]時，x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴當x+

π

4

=

π

2

 時，函數f（x）有最大值為2，當x+

π

4

=

5π

4

時，函數f（x）有最小值為 2×

- 2

2

=-

2

．
（3）函數f（x）的周期為π，列表

2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
y	0	2	0	-2	0

如圖：
 

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，求三角函數的最值，用五點法做出y=Asin（ωx+∅）在一個周期內的簡圖，
化簡函數f（x）的解析式，是解題的突破口．